Rationale Zahlen (normale Brüche) sind abzählbar, d.h. äquivalent der Menge der natürlichen Zahlen.

Die folgende Darstellung orientiert sich an A.Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre, dritte Auflage 1928, Springer Verlag Berlin, S.32 f.

Die rationalen Zahlen lassen sich eineindeutig den natürlichen Zahlen zuordnen und somit 'abzählen'. Sie haben folglich nach Cantor (dem Begründer der Mengenlehre) die gleiche Unendlichkeit (oder die gleiche Mächtigkeit), wie die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen 1,2,3,...

...oder in der Schreibweise von Cantor, sie haben

            die Kardinalzahl “Aleph-Null”:   

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Es gibt beispielsweise folgende Zahlenpaare natürlicher Zahlen (ohne die Null), die addiert 7 ergeben:

6&1, 5&2, 4&3, 3&4, 2&5, 1&6. Es wird also bei der ersten Zahl die Reihenfolge hergestellt von 6 bis 1 und bei der zweiten die umgekehrte Reihenfolge von 1 bis 6.

Wenn man diese Zahlenpaare als Brüche anordnet, ergibt sich:

Hat man jetzt (beispielsweise) die Zahl 8, so ergeben sich analog folgende Brüche:

Es ist klar, daß es zu jeder natürlichen Zahl s nur endlich viele solcher Brüche gibt, da man im Zähler rückwärts bis zur 1 geht. Außerdem sind mit jener Methode jeweils alle Paare natürlicher Zahlen erfaßt, die als Summanden die natürliche Zahl s+1 ergeben. Zu jedem beliebigen Bruch mit natürlichen Zahlen im Zähler und Nenner läßt sich somit sein zugehöriges s bestimmen. Hat man etwa den Bruch 2/5, so ergibt der Bruch als Summanden geschrieben 2+5=7=s+1 und das zugehörige s=6.

Die rationalen Zahlen sind folgendermaßen definiert: Es sind alle Brüche mit natürlichen Zahlen im Zähler und im Nenner. Negative rationale Zahlen sind mit einem Minuszeichen vor jenen (positiven) Brüchen versehen.  Es sind bei den positiven rationalen Zahlen:

erstens: alle möglichen Verbindungen der 1 im Zähler mit allen möglichen natürlichen Zahlen im Nenner

zweitens: alle möglichen Verbindungen der 2 im Zähler  mit allen möglichen natürlichen Zahlen im Nenner

drittens: alle möglichen Verbindungen 3 im Zähler mit allen möglichen natürlichen Zahlen im Nenner

usw.

Für die negativen rationalen Zahlen wird einfach vor jene Verbindungen ein Minuszeichen gesetzt.

Nun zur entscheidenden Frage:

Wie kann man ausnahmslos alle möglichen rationalen Zahlen mit einer abzählbaren Zahlenreihe vergleichen?

Um es systematisch darzulegen, eignet sich das folgende Schema:

(Tabelle 1)

s=0 ->

s=1 -> 

s=2 -> 

s=3  ->

s=4 -> 

s=5 -> 

s=6 -> 

s=7 -> 

 usw,

Man sieht also immer ganz rechts die 1 im Zähler. (Bis auf oben bei s=0, die 0 als Spezialfall ). Dabei werden

ab s=1 alle Brüche mit 1 im Zähler abgearbeitet (immer ganz rechts): 1+1, 1+2, 1+3 usw.

Ab s=2 werden alle Brüche mit 2 im Zähler abgearbeitet (immer die vorletzten): 2+1 (bei s=2), 2+2 (bei s=3), 2+3 (bei s=4) usw.

Ab s=3 alle Brüche mit 3 im Zähler (immer die Drittletzten),

usw.

das Ganze endlos weiter, sodass alle natürlichen Zahlen im Zähler nach und nach mit diesem Schema erfaßt werden.

Desweiteren werden für jede natürliche Zahl im Zähler alle ihr möglichen natürlichen Zahlen des Nenners in einem unendlichen Prozess nach und nach zugeordnet. Hiermit ist alles erfaßt an möglichen Zusammenstellungen von Zähler und Nenner bzgl. natürlicher Zahlen. Folglich sind durch jenes System alle positiven rationalen Zahlen erfaßt. Die negativen erhält man durch einfaches Voranstellen des Minuszeichens.

Wie kann man aber nun abzählen?

Wenn man die Brüche der Tabelle 1 abzählt, so kommt man bei s=3  beispielsweise auf die natürliche Zahl 6 als Endergebnis, d.h. es gibt insgesamt 6 Brüche bis inkl. s=3 (die Null soll nicht mitgezählt werden). Bei s=4 käme man auf die natürliche Zahl 10. Bei s=5 auf die natürliche Zahl 15 usw.

In der folgenden dreizeiligen Tabelle (2) wird die eineindeutige Zuordnung zu den natürlichen Zahlen gezeigt: zu jeder natürlichen Zahl gibt es genau einen Bruch und umgekehrt: zu jedem Bruch gibt es genau eine natürliche Zahl. Die zu kürzenden Brüche interessieren nicht, da es lediglich um die Abzählbarkeit geht.

(Tabelle 2)

s=0,s=1        s=2                 s=3                s=4                                 s=5
0/1,  1/1,    2/1  1/2,    3/1  2/2  1/3,   4/1  3/2  2/3  1/4,   5 /1  4/2  3/3  2/4  1/5,
0      1         2      3       4      5     6      7      8      9   10    11    12   13   14   15 ...
 

Es existieren zwei absolut nebensächliche Komplikationen dieses Modells:

1. die negativen Zahlen und die Null.

Um die negativen Zahlen in das Schema zu integrieren wird den obigen Brüchen einfach jeweils ein Minus vorangestellt und jene negativen Brüche werden sodann neben die positiven Brüche gereiht: also bespielsweise 2/3, daneben dann -2/3. Bei der Abzählung würde somit alles verdoppelt: man käme also bei s=4 eigentlich auf die Zahl 20 statt auf 10 für den letzten Bruch. (Die Null ist weder positiv noch negativ, sie ist ‘neutral’ und wird bei der Abzählung nicht gebraucht.) Jene Verzweifachung würde an der Abzählbarkeit des Ergebnisses selbstverständlich nix ändern. - Und darum geht es ja eigentlich: es wurde ein Schema gefunden, anhand dessen sich diese Brüche vollständig abzählen lassen.

2. kürzen.

Man weiß beispielsweise, dass   gekürzt werden kann zu . Bei der obigen Tabelle (1)  taucht aber  schon bei s=3 als letzter Bruch auf. Somit ist der Zahlwert von   , welcher als genau dieser Bruch erst in s=7 auftaucht, schon als Zahlwert in s=3 als enthalten. Es ist einleuchtend, daß alle solche Kürzungen schon in einem kleineren s gegeben sind, da nun die Summe von Zähler und Nenner kleiner geworden ist. Wie eben hier: es ist 1+3=4, also ist s=3 zuständig. (Anm.: Hat man einen negativen Bruch, so werden dennoch Zähler und Nenner als positiv betrachtet und sodann addiert, um zum zuständigen s zu kommen.)

Gleichwohl ändert dies nichts an dem zu beweisenden Sachverhalt. Denn dass man nun noch etliche dieser Brüche 'kürzen' kann (um nun wirklich rein nur die rationalen Zahlen ohne Doppelte zu erhalten), ist eigentlich eine nebensächliche Angelegenheit bzgl. der Abzählbarkeit: es ergeben sich lediglich weniger Brüche, dadurch aber sind sie sozusagen 'erst recht' abzählbar.

Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen (kurz: der einfachen Brüche mit natürlichen Zahlen im Zähler und Nenner - zusätzlich noch das Minuszeichen für die negativen rationalen Zahlen) zeigt, daß die Menge der rationalen Zahlen zu der Menge der natürlichen Zahlen äquivalent ist: es ist eine eineindeutige Zuordnung beider aufeinander möglich. Wiewohl man denken würde, daß doch die Anzahl jener Brüche bei Weitem größer ist. Denn jene Brüche enthalten ja sogar noch die natürlichen Zahlen als Teilmenge, nämlich in der obigen Tabelle1 als die jeweils ersten Brüche zu jedem s ab s=1

                                                 , ….. usw.

Aber es ist ein typisches Merkmal von unendlichen Mengen, daß sie selber wieder eigentliche (echte) Teilmengen enthalten können, die ihnen äquivalent sind. (Definition von Dedekind, lt. Fraenkel S.24. Wobei es auch nicht ganz unbekannt ist, daß der amerikanische Philosoph Charles Sanders Peirce schon vor Dedekinds Sichtweise von 1888 die gleiche Ansicht vertreten hat: 1881 “On the Logic of Numbers”. American Journal of Mathematics, Vol.4, S.85-95. Siehe auch Wikipedia).